数学カフェ 2026年9月12日
文字列から
現代数学へ
洞 龍弥
ZEN大学
文字列から
メッセージ
表メッセージ(数学)
文字列と現代数学はつながってる
裏メッセージ(情熱)
AI時代に(メタな)数学をしよう
文字列と多項式
文字列と原始語
定義
同じ語の繰り返しとして書けない語を，原始語という．
原始語
全
原始語
全
原始語
全
原始語
全
原始語
全
原始語
全
原始語
全
原始語
全
原始語
全
原始語
全
原始語
全
原始語
全
原始語繰り返しで書ける語
観察
原始語の個数は
何回で元に戻る？
命題
原始語を1字回しても、原始語になる。
原始語
繰り返しで書ける語
回 回した
原始語は
原始語を回転でまとめて数える
円の個数長さ
1.2節
計算結果を
| 二次式 | 整数で因数分解 | |
|---|---|---|
因数分解できないものは、いくつ？
因数分解できない多項式を、既約多項式という。
既約多項式の個数
補足
ここでは最高次の係数が1の多項式を数える。「因数分解できない」とは、正の次数の多項式二つの積に書けないこと。
なぜ、個数が一致する？
原始語のグループ
円の個数長さ
既約多項式
既約多項式の個数
古典的文献：Golomb (1969)；Reutenauer (1993)
補足・参考文献
個数の一致だけなら、メビウス反転ですぐ分かる。
原始語を回転で同一視したグループ（原始ネックレス）と、同じ次数のモニック既約多項式の個数一致は古典的な結果。
- S. W. Golomb (1969), Irreducible polynomials, synchronization codes, primitive necklaces and the cyclotomic algebra, Combinatorial Mathematics and Its Applications, pp. 358–370。書誌：Kopparty–Kumar–Saks (2016), 文献[12]。対応の解説は同論文§3。
- C. Reutenauer (1993), Free Lie Algebras, Clarendon Press。後半で使う二乗で巡回する基底による対応は、Duzhin–Pasechnik (2013), §6に記載。同論文§4は、この構成をReutenauerが既知の構成として紹介したと述べている。
「グループ」は回転で移り合う語の集まりを指す。この呼び方と、後に登場する数学用語の「群」は区別する。
文字列と空間
連続的に一周すると、離散的な状態が進む。
離散と連続のあいだ
離散
010011
文字列
整数
格子
?
連続
年輪から、離散と連続を考える
豊かな「連続」と
補足
離散はノイズに強い。
連続的な時間軸と離散的な年号
経過した時間 年
時間軸でない空間の中を移動
4周期で元に戻る
W杯の4年・指揮の4拍子
W杯の4年・指揮の4拍子
周
不可逆な操作
来店数 0 客数 0
補足
ちょっとコンピュータっぽい？2.2節 道と文字列
輪っかを二つにすると?
補足
矢印に沿う道だけを0と1の語で表す。逆向きの道まで含めた自由群全体を二文字の語と同一視しない。
文字列を受け取って，状態空間を移動する
音量
補足
音量は消・小・中・大の4状態。0は音量を一段下げ、1は一段上げる。消で0を押しても消、大で1を押しても大のまま。初期音量は小。入力欄に0と1の文字列を書いて再生できる。入力を書き換えると音量と履歴が初期状態に戻る。リセットでは入力した文字列を残す。端では異なる状態が合流するので、通常の被覆空間ではない。
文字列とトポス
個数の一致
長さ
原始語の回転グループ
次数
モニック既約多項式
どちらの個数
補足・参考文献
長さ
メビウス反転：
形式的なDirichlet級数
ここで
構造の一致
原始語
001
最短周期で読む
周期列
…001001001…
連続写像
数
対応を一つ選ぶ
1字の左回転
↔二乗＝フロベニウス
無限次正規基底定理：H. W. Lenstra, Jr. (1985), Theorem 1
補足・参考文献
H. W. Lenstra, Jr. (1985), Theorem 1 は、
次の具体例では次数ごとに基底を選ぶ。その選択が、すべての次数で整合する上記の一つの同型を与えるとは主張しない。
原始語と数の対応
原始語数
長さ・次数 1
長さ・次数 2
長さ・次数 3
長さ・次数 4
補足・参考文献
上から最短周期（右は最小多項式の次数）
各次数で
語
次数ごとの基底は独立に選んでおり、前のスライドの全次数で整合する一つの同型を与えるとは主張しない。ここでは最短周期で分類した語と数を対応させている。構造による対応：H. W. Lenstra, Jr. (1985), Theorem 1。
3.2節 オートマトンとガロアトポス
ガロア理論の広がり(1/3)
Grothendieck Galois theory
Grothendieck et al., SGA 1 (1971), Exposé V
補足・参考文献
左は二つの解の入れ替え、右は円の2重被覆の2点のファイバー。下の円を1周すると二つの点が入れ替わる。有限被覆と有限 étale 被覆の理論については SGA 1, Exposé V, §§4–6。
ガロア理論の広がり(2/3)
有限オートマトンの圏
↓semi-Galois category
Galois category↔副有限群
semi-Galois category↔副有限モノイド
Takeo Uramoto, Semi-Galois Categories I (2025)
補足・参考文献
固定した有限アルファベットについて、対象は有限集合と各文字の遷移、射は遷移を保つ写像。初期状態・受理状態は指定しない。忘却関手と組にして semi-Galois category とみる。
Uramoto：著者プレプリント（2015–2017）、§2.2, Example 2, Definitions 5–7。上の対応では忘却関手を保つ関手を用い、圏としては双対になる。
ガロア理論の広がり(3/3)
semi-Galois topos
補足・参考文献
左図はカントール空間による位相のイメージであり、一般の位相モノイドをカントール空間と同一視するものではない。
Rogers：離散集合への連続作用と、作用を保つ写像の圏
Hora：固定したアルファベット
semi-Galois theory との関係、位相モノイドの作用による表示は進行中。任意の言語クラスについてその表示が確立したとは述べない。
Jean-Éric Pin, Profinite Methods in Automata Theory (2009)：オートマトン理論への副有限位相の方法。
Gehrke–Grigorieff–Pin, Duality and Equational Theory of Regular Languages (2008)
エピローグ
操作から捉える
数を
解の入れ替えから捉える
空間を
測量という操作から捉える
補足
肖像の横の文は洞による説明であり、本人の言葉の直引用ではない。引用：「連続の世界と「不連続」または「離散」構造の世界が結び合う」— Grothendieck『収穫と蒔いた種と』辻雄一訳より。原文：Récoltes et Semailles, Promenade §16, P43。測量の「superstructure d’arpentage」は同 §13, P38。肖像：Galois（公有）、Grothendieck：Konrad Jacobs / © MFO（CC BY-SA 2.0 DE）。
なぜ文字列は重要なのか
数学という操作が，文字列で表現される
文字列の数理は，メタな数理と接続する
補足
Gödelの完全性定理：coherent toposが十分な点をもつというDeligneの定理は、論理の完全性を幾何学的に捉える。古典一階理論のBoolean syntactic categoryを介して、証明できない文を偽にする集合値モデルの存在に結びつく。Makkai–Reyes, First Order Categorical Logic, Theorem 3.5.5・Remark 2、Theorem 6.2.2（リンクは再組版、PDF pp.97–98／132–133）。
Cohenのforcing：Boolean-valued modelsを通して層の言葉でも捉えられる。完備Boolean代数上では、モデルのmixing propertyが対応する前層の層条件と一致する。Pierobon–Viale, Boolean valued models, presheaves, and étalé spaces, v6, Proposition 5.3, p.24。
数学は，根底から変わる
2026-09-08
AIによる証明構築／Leanによる検証
滑らかな外力をもつ3次元方程式の有限時間特異点
OpenAI, On the Navier–Stokes Millennium Prize Problem補足
外力をもつ方程式についての結果であり、外力のない一般の三次元 Navier–Stokes 方程式の問題が解決したという意味ではない。
操作と数学
補足
NVIDIA Omniverse, World Models: The Frontier of Physical AI | Physical AI Day at SIGGRAPH 2026（2026-08-12公開）、Ming-Yu Liu。30:00「Cosmos Learns and Guides Physical Action」から。
数学は新しくなる
一緒に考えよう
参考文献
- H. W. Lenstra, Jr. (1985)A normal basis theorem for infinite Galois extensions無限次正規基底定理 · Theorem 1
- H. W. Lenstra, Jr. & R. J. Schoof (1987)Primitive normal bases for finite fields原始正規基底 · 主定理
- A. Grothendieck et al. (1971)Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1)ガロア圏 · Exposé V, §§4–6
- Takeo Uramoto (2025)Semi-Galois Categories I: The Classical Eilenberg Variety Theorysemi-Galois圏と副有限モノイド
- Morgan Rogers (2023)Toposes of Topological Monoid Actions連続作用のトポス · Cor. 1.19, Thm. 3.20
- M. Makkai & G. E. Reyes (1977)First Order Categorical Logic完全性 · Thm. 3.5.5, Remark 2 / Thm. 6.2.2
- Moreno Pierobon & Matteo VialeBoolean valued models, presheaves, and étalé spacesBoolean値モデルと層 · v6, Prop. 5.3
- Ryuya Hora · 進行中Topoi of automata IIHyperconnected geometric morphisms and syntactic topoi
